• プログラムの信頼性を向上させる
• 信頼性とはプログラムが正しく動く保証である
• プログラムの信頼性はバグなどの原因で低下する
• 信頼性が低下するきっかけにプログラムの変更がある
• プログラムの変更を形式化することで信頼性を保証する

• Monad を用いてプログラムの変更を形式化する
• プログラムにおける Monad はメタ計算を表現するために用いる
• メタ計算とは計算を実現するための計算である
• プログラムの変更を表すメタ計算を Delta Monad として提案する
• Delta Monad が Monad 則を満たすか Agda により証明する
• Delta Monad と他の Monad の合成が可能であることを証明する

• 形式手法とはソフトウェアの検証に数学や論理学を用いる手法
• 論理と対応する lambda 計算を用いたプログラムの形式化などがある
• Moggi らによれば圏論のMonad は関数とメタ計算を含む関数との対応
• メタ計算として変更を定義することで形式的な定義を与える
• 「過去の変更を全て保存する」メタ計算 Delta Monad を提案する

• 型付きの値と関数のみで構成される
• プログラムの実行は関数の適用で表現できる
• 関数は値としても振る舞う

    x    :: A
    f    :: A -> B
    f(x) :: B
    g    :: A -> (A -> B) -> B

• 全ての変更を保存するメタ計算
• 変更には単位があり、変更単位をバージョンとする
• ある型Aの値があった時、過去のバージョン全てを持つ

    T A = {A1, A2, A3, ... }

• Haskell でデータ構造 Delta を作る
• リストのように順序付きの構造を持つ
• バージョン1の値は Mono
• 変更する時は Delta による値の追加

data Delta a = Mono a | Delta a (Delta a)

• Haskell においてメタ計算を定義する
• Delta Monad により表現されるプログラムでは
  • 値 : 値のバージョン毎の集合
  • 関数 : 値からバージョン毎の値の集合へのマッピング
  • 関数適用 : バージョンごとに関数適用する

• 関数の適用時にメタ計算を行なう中置関数 >>= として定義
• return はメタ計算に値を対応させる関数

instance Monad Delta where
  return x           = Mono x
  (Mono x)    >>= f  = f x
  (Delta x d) >>= f  = Delta (headDelta (f x))
                             (d >>= (tailDelta . f))

generator x     = [1..x]
numberFilter xs = filter isPrime xs
count xs        = length xs

numberCount x = count (numberFilter (generator x))

generator x     = [1..x]
numberFilter xs = filter even xs
count xs        = length xs

numberCount x = count (numberFilter (generator x))

generator x     = Mono [1..x]
numberFilter xs = Delta (filter even xs)
                        (Mono (filter isPrime xs))
count x         = Mono (length x)

numberCount x = count =<< numberFilter =<< generator x

• メタ計算としてプログラムの変更を表現できた
• 変更を含めて実行できるので、全てのバージョンを同時に実行できる

*Main> numberCount 1000
Delta 500 (Mono 168)

• Delta Monad 以外にもメタ計算は Monad として提供されている
• 例外機構、ロギング、入出力など
• 他の Monad と組み合せることにより変更に対する計算が定義できる
• Delta Monad が他の Monad と組み合わせ可能であることは証明した

• ログを取る Writer Monad と組み合せた numberCount の実行結果

*Main> numberCountM 10
DeltaM (Delta (Writer (4, ["[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]",
                           "[2,3,5,7]",
                           "4"]))
       (Mono  (Writer (5, ["[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]",
                           "[2,4,6,8,10]",
                           "5"]))))

• 各トレースの比較によるデバッグ
• 異なるバージョンの同時実行によるバージョン間互換
• 正常系と開発版を同時に実行できる
  • 正常版の入出力を開発版に対する入力にできる
• Version Control System に対する形式的な定義

• メタ計算によってプログラムの変更を定義できた
• メタ計算により信頼性の向上手法を提案できた
• Delta Monad が Monad 則を満たすことを Agda によって示した
• プログラムの変更を全て Delta Monad で記述できるか?
• 形式的な視点からプログラムの変更とは?
  • 同時実行は product, repository は colimit?