微分

無限小を作れたので、微分が定義できる。y = f(x) とグラフを書いた時のxを決めると、f(x)の接線が決まる。正確には決まる場合がある。これは、いくつかの意味がある。接線のxでの傾きf'(x)は

　f(x)が時間と位置の関係なら速度　f(x)が位置と高度の関係なら坂の傾き　f(x)が位置と気圧の関係なら風の強さ

f(x)とf(x + Δx)の間の傾きは以下のようになる。


$ \frac{f(x + Δx ) - f(x)}{Δx}$


Δx が無限小ならこの傾きは接線の傾きになると考えられる。そのためには$f(x + Δx ) - f(x) ≈0$ になるべきだと思われる。$Δx ≈0$ なので、その割り算の値は不定になる。しかし、この値は f(x) が具体的に決まれば計算できる。

例えば $f(x) = x^2$ ならば、


$ f'(x) = \frac{f(x + Δx ) - f(x)}{Δx} = \frac{(x + Δx )^2 - x^2}{Δx} = \\$
$ \frac{x^2 + 2x Δx + {Δx}^2 - x^2}{Δx} = 2x + Δx ≈ 2x $


となる。これは-∞<x<∞で成立する。常に全領域で決まった値になるとは限らない。f'(x) を f(x) を微分または導関数(derivative)という。


$ \frac{dx^2}{dx} = 2x$
$ d/dx ( x^2 ) = 2x$
$ \frac{d}{dx} x^2 = 2x$


とも書く。このdは無限小に対応する記号と考えて良い。

微分可能

微分できるにはいくつか条件がある。まず、

$f(x + Δx ) - f(x) ≈0$

である。これは無限小の隣り合ったf(x)の値がjumpしてないことを意味する。この条件を点xでのf(x)が連続であるという。(jumpしている場合に導関数を無限大とすることも可能だが、その場合は導関数の値を実数でなく超実数として扱う必要がある)

教科書の st(x) は超実数xを実数に変換している(変換できない場合もある)。

$∃ε→ Δy = f'(x)Δx + εΔx$