超自然数と超実数

自然数の拡張として別な方向を考える。

　　自然数の無限列を考える

例えば、

　　0,0,0,0,.... 　　1,1,1,2,.... 　　0,1,2,3,.... 　　0,1,0,1,....

同じ数字が続くものは元の自然数と同じである。

どんどん大きくなる自然数列は無限大を表す。

含まれる数字の最大値があれば、無限大にはならない。でも、元の自然数とも違う。

つまり、無限自然数列(超自然数)には順序がありそうである。これは集合論の選択公理を認めると順序があると言って良い。あるいは、あると仮定するとして良い。

これを使って四則演算を定義して代数的拡大を作る。四則演算は数列の位置ごとに演算すれば良い。

割り算の条件は超自然数が0を要素として含まないことである。

無限大の逆数は無限小になる。これで有理数を無限大と無限小を含むものに拡張できた。

同様に超有理数を考えることもできる。√などを入れても良い。複素数にもなる。

超実数

超有理数を使うと実数解のある方程式の解を有理数の近似列として表すことができる。超自然数の計算により作ると考えても良い。

つまり超有理数を実数と考えても良さそう。しかし、無限大と無限小がある。なので大きく作り過ぎている。

超実数のうち、無限大でないものを無限小の差がでまとめると実数になりそうな気がする。

超実数を無限小数で表してもよい。

　　0.99999.... 　　1.00000....

は超自然数の演算を(無限回)行って得られる。これは異なる超実数になる。実際、

　　1,10,100,1000,....

な超自然数の逆数ε分だけの差がある。

この二つは無限小しか差がないので実数としては同じものになる。つまり、

　　実数として等しい等号 ≈ 　　超実数として等しい等号 =

の二つがあることになる。

無限大と無限小には、さまざまなものがある。それには大小がある。　例えば、εは$ε^2$よりも大きい。

有理数に無限小しか差がない超実数は有理数だとして良い。自然数も同じ。なので超実数は有理数と自然数、そして代数的な数を全部含んでいる。

無限小な超実数をΔx などと書く。無限小と言っても差があるので、それを変数で区別している。Δx とΔyは別なものだが実数としては等しい。

　　Δx ≈Δy　≈0

無限大は∞と書くが、やはり個々の無限が異なることに注意する必要がある。

　　1/∞≈0

超実数の無限小と無限大は超自然数つまり、自然数列としての差があり一様には扱えない。ここの無限小と無限大に関しては個別に作り方から考える必要がある。

しかし、一つの無限小ε, δや無限大H, K、0でない超実数b、cを固定してしまえばいくつかの規則がある。

(i) 無限小な実数は 0 しかない。任意の実数はすべて有限。

(ii) -εは無限小。

      -b は有限だが無限小ではない
      -H は無限大

(iii) 0でないεならば、1/εは無限大

      1/b は有限で無限小ではない
      1/H は無限小

(iv) ε+ δは無限小

      b + εは有限で無限小でない
      b + c は有限または無限小
      H + εと H + b  は無限大

(v) ε* δ、b * εは無限小

      b * c は有限で無限小でない
      H * b と H * K  は無限大

(vi) ε/ b、ε/ H 、b /H は無限小

      b / c は有限で無限小でない
      b / ε、H / ε、H / b はεとbが0でなければ無限大

(vii)　ε > 0 なら $^n\sqrt{ε}は無限小

     　b > 0 なら $^n\sqrt{b}は有限で無限小でない
     　H > 0 なら $^n\sqrt{H}は無限大

以下の場合は個別に調べる必要がある。

   ε/ δ、H / K 、H ε、H + K

これらは不定(indeterminate)という。

教科書の Problem for 1.5 の問題のうち5題解答せよ。