微分

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無限小を作れたので、微分が定義できる。y = f(x) とグラフを書いた時のxを決めると、f(x)の接線が決まる。正確には決まる場合がある。これは、いくつかの意味がある。接線のxでの傾きf'(x)は

 f(x)が時間と位置の関係なら速度 f(x)が位置と高度の関係なら坂の傾き f(x)が位置と気圧の関係なら風の強さ

f(x)とf(x + Δx)の間の 傾きは以下のようになる。

f(x+Δx)f(x)Δx

Δx が無限小ならこの傾きは接線の傾きになると考えられる。そのためにはf(x+Δx)f(x)0 になるべきだと思われる。Δx0 なので、その割り算の値は不定になる。しかし、この値は f(x) が具体的に決まれば計算できる。

例えば f(x)=x2 ならば、

f(x)=f(x+Δx)f(x)Δx=(x+Δx)2x2Δx= x2+2xΔx+Δx2x2Δx=2x+Δx2x

となる。これは-∞<x<∞で成立する。常に全領域で決まった値になるとは限らない。f'(x) を f(x) を微分または導関数(derivative)という。

dx2dx=2x d/dx(x2)=2x ddxx2=2x

とも書く。このdは無限小に対応する記号と考えて良い。


微分可能

微分できるにはいくつか条件がある。まず、

f(x+Δx)f(x)0

である。これは無限小の隣り合ったf(x)の値がjumpしてないことを意味する。この条件を点xでのf(x)が連続であるという。(jumpしている場合に導関数を無限大とすることも可能だが、その場合は導関数の値を実数でなく超実数として扱う必要がある)

教科書の st(x) は超実数xを実数に変換している(変換できない場合もある)。

εΔy=f(x)Δx+εΔx


問題 9.1

二項展開を用いて、d/dxxn=nxn1 を示せ。


問題 9.2

p.52 のSection 2.1 の問題をいくつか解こう


和と積の微分


関数合成の微分


逆関数の微分


Shinji KONO / Thu Apr 22 12:26:48 2021