微分
Menu Menu無限小を作れたので、微分が定義できる。y = f(x) とグラフを書いた時のxを決めると、f(x)の接線が決まる。正確には決まる場合がある。これは、いくつかの意味がある。接線のxでの傾きf'(x)は
f(x)が時間と位置の関係なら速度 f(x)が位置と高度の関係なら坂の傾き f(x)が位置と気圧の関係なら風の強さ
f(x)とf(x + Δx)の間の 傾きは以下のようになる。
Δx が無限小ならこの傾きは接線の傾きになると考えられる。そのためには
例えば
となる。これは-∞<x<∞で成立する。常に全領域で決まった値になるとは限らない。f'(x) を f(x) を微分または導関数(derivative)という。
とも書く。このdは無限小に対応する記号と考えて良い。
微分可能
微分できるにはいくつか条件がある。まず、
である。これは無限小の隣り合ったf(x)の値がjumpしてないことを意味する。この条件を点xでのf(x)が連続であるという。(jumpしている場合に導関数を無限大とすることも可能だが、その場合は導関数の値を実数でなく超実数として扱う必要がある)
教科書の st(x) は超実数xを実数に変換している(変換できない場合もある)。
問題 9.1
二項展開を用いて、
問題 9.2
p.52 のSection 2.1 の問題をいくつか解こう