積分

リーマン和

無限小を使った区間の分割がわかったので、これに高さに相当するものを付け加える。

\[ \] \[ \sum_{a}^{b} f(x) Δ x \] \[ \]

これは区間Δxに、その位置のf(x)を掛けて足したものである。これをリーマン和という。この区間を無限小にすると f(x) の面積を計算したものになる。これも有限な区間を用いた形式と同じになっている。

この時にx=aからbまでの間でf(x)はさまざま値をもつ。各区間の面積はその最大Maxと最小Minを使ってMax*(a-b)とMin*(a-b)の間になる。つまり、この和は有限になるので、標準部分、つまり実数を取ることができる。これを積分といい以下のように書く。

\[ \] \[ \int_a^b f(x) dx = st ( \sum_{a}^{b} f(x) Δ x )\] \[ \]

積分の性質

積分は線形、つまり、足し算と定数の掛け算と可換になっている。

\[ \] \[ \int_a^b (kf(x) + g(x)) dx = \] \[k \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx \] \[ \]

本質的に足し算なので分配法則から導出することができる。

積分を直接に計算するのは一般的には難しいが

\[ \] \[ \sum_{a}^{b} x Δ x \] \[= \sum_{a}^{b} ( a + x / (b - a)) Δ x \] \[ \]

基本定理

リーマン和の最後の一つを分離する。

\[ \] \[ \sum_{a}^{b + Δx} f(x) Δ x = \sum_{a}^{b} f(x) Δ x + f(b) Δx\] \[ \]

これもΔxが有限でも無限でも成立する。これを使って微分すると

\[ \] \[ \frac{d}{db}\sum_{a}^{b } f(x) dx \] \[= \frac{\sum_{a}^{b + Δx} f(x) Δ x - \sum_{a}^{b} f(x) Δ x}{Δx} \] \[= \frac{\sum_{a}^{b} f(x) Δ x + f(b)Δx - \sum_{a}^{b} f(x) Δ x}{Δx} \] \[= \frac{f(b)Δx }{Δx} = f(b)\] \[ \]

つまり、積分を微分するともとに戻る。つまり、

\[ \] \[ d/dx F(x) = f(x)\] \[ \]

となる F(x) を見つけられれば

\[ \] \[ \int_a^b f(x) dx = F(b)\] \[ \]

となる。 C を定数として

\[ \] \[ d/dx F(x) + C= d/dx F(x) \] \[ \]

x の多項式 f(x) = 0 となる x を見つけるのが方程式だった。微分を含むfの多項式 G(f) = 0 の解を見つけるのが微分方程式になる。積分は微分方程式の解を求める問題ということになる。

無限小区間による分割と超自然数のモデル

無限大は自然数の増加列、例えば \(H = {1,2^1,2^2,...}\)だった。b-a の区間をこれで割ると、各区間は、それぞれの列で割られていると考える。

\[ \] \[ 2 : 1/2 + 1/2\] \[ 4 : 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4\] \[ 8 : 1/8 + ... 1/8\] \[ ...\] \[ 2^n : 1/{2^n} + ... 1/{2^n}\] \[...\] \[ \]

\(Δx = 1/{2^n}\) が \(2^n\) 回足されたものの列が \(\sum_{a}^{b} Δ x \) に対応する超実数になる。