積分

リーマン和

無限小を使った区間の分割がわかったので、これに高さに相当するものを付け加える。

$\sum_{a}^{b} f (x) Δ x$

これは区間Δxに、その位置のf(x)を掛けて足したものである。これをリーマン和という。この区間を無限小にすると f(x) の面積を計算したものになる。これも有限な区間を用いた形式と同じになっている。

この時にx=aからbまでの間でf(x)はさまざま値をもつ。各区間の面積はその最大Maxと最小Minを使ってMax*(a-b)とMin*(a-b)の間になる。つまり、この和は有限になるので、標準部分、つまり実数を取ることができる。これを積分といい以下のように書く。

$\int_{a}^{b} f (x) d x = s t (\sum_{a}^{b} f (x) Δ x)$

積分の性質

積分は線形、つまり、足し算と定数の掛け算と可換になっている。

$\int_{a}^{b} (k f (x) + g (x)) d x =$ $k \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$

本質的に足し算なので分配法則から導出することができる。

積分を直接に計算するのは一般的には難しいが

$\sum_{a}^{b} x Δ x$ $= \sum_{a}^{b} (a + x / (b - a)) Δ x$

基本定理

リーマン和の最後の一つを分離する。

$\sum_{a}^{b + Δ x} f (x) Δ x = \sum_{a}^{b} f (x) Δ x + f (b) Δ x$

これもΔxが有限でも無限でも成立する。これを使って微分すると

$\frac{d}{d b} \sum_{a}^{b} f (x) d x$ $= \frac{\sum_{a}^{b + Δ x} f (x) Δ x - \sum_{a}^{b} f (x) Δ x}{Δ x}$ $= \frac{\sum_{a}^{b} f (x) Δ x + f (b) Δ x - \sum_{a}^{b} f (x) Δ x}{Δ x}$ $= \frac{f (b) Δ x}{Δ x} = f (b)$

つまり、積分を微分するともとに戻る。つまり、

$d / d x F (x) = f (x)$

となる F(x) を見つけられれば

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b)$

となる。 C を定数として

$d / d x F (x) + C = d / d x F (x)$

x の多項式 f(x) = 0 となる x を見つけるのが方程式だった。微分を含むfの多項式 G(f) = 0 の解を見つけるのが微分方程式になる。積分は微分方程式の解を求める問題ということになる。

無限小区間による分割と超自然数のモデル

無限大は自然数の増加列、例えば

H = 1, 2^{1}, 2^{2}, . . .

だった。b-a の区間をこれで割ると、各区間は、それぞれの列で割られていると考える。

$2 : 1 / 2 + 1 / 2$ $4 : 1 / 4 + 1 / 4 + 1 / 4 + 1 / 4$ $8 : 1 / 8 + . . . 1 / 8$ $. . .$ $2^{n} : 1 / 2^{n} + . . . 1 / 2^{n}$ $. . .$

$Δ x = 1 / 2^{n}$ が $2^{n}$ 回足されたものの列が $\sum_{a}^{b} Δ x$ に対応する超実数になる。