積分
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リーマン和
無限小を使った区間の分割がわかったので、これに高さに相当するものを付け加える。
\(
\)
\(
\sum_{a}^{b} f(x) Δ x \)
\(
\)
これは区間Δxに、その位置のf(x)を掛けて足したものである。これをリーマン和という。この区間を無限小にすると f(x) の面積を計算したものになる。これも有限な区間を用いた形式と同じになっている。
この時にx=aからbまでの間でf(x)はさまざま値をもつ。各区間の面積はその最大Maxと最小Minを使ってMax*(a-b)とMin*(a-b)の間になる。つまり、この和は有限になるので、標準部分、つまり実数を取ることができる。これを積分といい以下のように書く。
\(
\)
\(
\int_a^b f(x) dx = st ( \sum_{a}^{b} f(x) Δ x )\)
\(
\)
積分の性質
積分は線形、つまり、足し算と定数の掛け算と可換になっている。
\(
\)
\(
\int_a^b (kf(x) + g(x)) dx = \)
\(
k \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx \)
\(
\)
本質的に足し算なので分配法則から導出することができる。
積分を直接に計算するのは一般的には難しいが
\(
\)
\(
\sum_{a}^{b} x Δ x \)
\(
= \sum_{a}^{b} ( a + x / (b - a)) Δ x \)
\(
\)
基本定理
リーマン和の最後の一つを分離する。
\(
\)
\(
\sum_{a}^{b + Δx} f(x) Δ x = \sum_{a}^{b} f(x) Δ x + f(b) Δx\)
\(
\)
これもΔxが有限でも無限でも成立する。これを使って微分すると
\(
\)
\(
\frac{d}{db}\sum_{a}^{b } f(x) dx \)
\(
= \frac{\sum_{a}^{b + Δx} f(x) Δ x - \sum_{a}^{b} f(x) Δ x}{Δx} \)
\(
= \frac{\sum_{a}^{b} f(x) Δ x + f(b)Δx - \sum_{a}^{b} f(x) Δ x}{Δx} \)
\(
= \frac{f(b)Δx }{Δx} = f(b)\)
\(
\)
つまり、積分を微分するともとに戻る。 つまり、
\(
\)
\(
d/dx F(x) = f(x)\)
\(
\)
\(
\)
\(
\int_a^b f(x) dx = F(b)\)
\(
\)
となる。 C を定数として
\(
\)
\(
d/dx F(x) + C= d/dx F(x) \)
\(
\)
x の多項式 f(x) = 0 となる x を見つけるのが方程式だった。微分を含むfの多項式 G(f) = 0 の解を見つけるのが微分方程式になる。積分は微分方程式の解を求める問題ということになる。
無限小区間による分割と超自然数のモデル
無限大は自然数の増加列、例えば $H = {1,2^1,2^2,...}$だった。b-a の区間をこれで割ると、各区間は、それぞれの列で割られていると考える。
\(
\)
\(
2 : 1/2 + 1/2\)
\(
4 : 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4\)
\(
8 : 1/8 + ... 1/8\)
\(
...\)
\(
2^n : 1/{2^n} + ... 1/{2^n}\)
\(
...\)
\(
\)
$Δx = 1/{2^n}$ が $2^n$ 回足されたものの列が $\sum_{a}^{b} Δ x $ に対応する超実数になる。