��u�A���S���Y����L��@�\����p���nTSP���@�����l�@

�c �� ��W(Naruaki Toma)* �� �� �� �u(Satoshi Endo)** �R �c �F 。(Koji Yamada)**

�@

�H�w����H�w��

* Undergraduate Student, Information Engineering, Fac. of Eng.

** Dept. of Information Engineering, Fac. of Eng.

Immune algorithms for nTSP

�����w�H�w���I�v ��55��, 1998�N

Abstract

In the AI field, adaptive algorithms such as neural networks or genetic algorithms are recognaized as the powerful learning systems or effective search methods. However, about immune algorithms modeled as a human immunity, it's fundamental ability and engineering applicablity is not cleared yet. In this paper, we apply the immune algorithm to the n-th traveling salesman problem (n-TSP) and discuss the effectivity of this algorithm.�@

Keywords

Immune Algorithm, n-TSP, Genetic Algorithm.


1. �����

ゥ��n�V�X�e���A�K���n�V�X�e���A��a�n�V�X�e������C���e���W�F���g�V�X�e�����v�\������A�j���[�����l�b�g��[�N�A��`�I�A���S���Y�������\����K���A���S���Y����L�����������������w�E������B���A���n������C���e���W�F���g�V�X�e��������u�n������H�w�I���p������\��y����L����\���c�_������������B

�{�e���,��u�V�X�e����R���Fッ�@�\�A�R���L��@�\�A�R���r��@�\������, ���H�w�������L������������,�}���`�G�[�W�F���g�V�X�e��������K����������������Z�[���X�}�����(n-Traveling Salesman Problem; ���, nTSP)��K�p��A�A���S���Y�����\�A������������B���C����������L��@�\����p�����l�@��s���D


2. ������Z�[���X�}�����:nTSP

2.1 TSP��nTSP

���Z�[���X�}�����TSP��NP-hard�����������G�������p�� ���L����������@��������������B��������K��� �G��H�w�I�����������e�G�[�W�F���g���������������� ����s���}���`�G�[�W�F���g�V�X�e����������������@������� ����B����TSP�����G�[�W�F���g����n�l��g���� nTSP���[4]�����A�}���`�G�[�W�F���g�^�A���S���Y�����\�]������������u�t���(�}1)�B

nTSP��{ソ�I��e�Z�[���X�}�������s�s�z������Z�o�H�T�����2�������B�����2���������A�������������I����������������������B��u�V�X�e������I��������K���\�������������������L���������@������l�����D

�}1:nTSP��T�O�}

2.2 nTSP�����

Table1��{�e��g�p���L������D

Table1:�L������

n

�Z�[���X�}����

m

�s�s��

dij

�s�si���s�sj������

(xi, yi)

�e�s�s��u���W

Si

�Z�[���X�}��i

PSi

�Z�[���X�}��i��p�X

Plank

1���v��

nTSP������I��e�Z�[���X�}����p�X�i�s�s����������j����v�i�R�X�g�j����������v����������������B�t���������

[��I���]

min ( costk = ��i fd(PSi) )�c(1)

ョ(1)��, PSi��Z�[���X�}��Si��p�X��,�o��s�s���I�s�s������p�X�����. fd��Si��������a�������������.

[�����]

PSi �� PSj = ��, i �� j (�� i,j)�c(2)

ョ(2)��Z�[���X�}��i��j��p�X��s�s��d��������������������.

Plank =

ts

PS1

ts

ts

PS2

ts

�F

�F

�F

ts

PSn

ts

�c(3)

ョ(3)��e�s��e�X��Z�[���X�}����p�X��\�����v���������. PS1��Z�[���X�}��S1��p�X������.


3. ��u�V�X�e��

��u�V�X�e�����, �����N�������l���m��R�����������, ��E��`�q���\�z��s����R��������R���Y���, �R���r���������h�q�@�\�����.

�}2:��u�V�X�e����T�O�}

�H�w�I���p�����X��������f��������u�A���S���Y��[1,2]�����B�{�e�����A���S���Y�����{�\���]��B

[Step 1] �R���Fッ

�R����������Fッ���.

[Step 2] ���R��Q����

�L���E������L�������R��Q������.

[Step 3] �e�a�x��v�Z

�R���R��v��e�a�xaxv��R��v��R��w��e�a�xayv,w��v�Z���.

[Step 4] �L���E��T�v���b�T�[��E�����

�S���R���Z�x��v�Z��, �R��v��Z�xcv�Ű��lTc��z�������, �R��v��L���Em�������. ���, �V�������L���E�����`�q�����T�v���b�T�[��Es������, �T�v���b�T�[��E���e�a�x��, ����x�匁��l����R��������.

[Step 5] �R��Y����i��}��

�����c��R��v����lev��v�Z��, �����R���e�a�x������������R��������.

[Step 6] �R���Y��

4�������R������V���R���, ������p������`�q������_���������������Y����. ���, ���������������I����B�����3�`6��J����.

��u�A���S���Y�������{�\���(1)��`�I�A���S���Y����������\ ��(2)�L���E����L����L��(3)�T�v���b�T�[��E����L�����T��� �}�����B���\�����GA��������L���T��\�����A�L����� ���p�y���T���}�����T�������������B�����u�A���S�� �Y�����������nTSP����W����(�}3�C�}4)�B

�}3:��u�A���S���Y����g�g��
�}4:��u�A���S���Y�������nTSP

4. nTSP�����IA���v

4.1 �R�[�f�B���O

nTSP��IA��K�p�������, ����R�������\�����������.

�}5:nTSP����C���[�W

�}5��, �s�s��m=10, �Z�[���X�}����n=3��u���1�v������T�O�}��\�����.1�v����������F ��i�R��j��L�q���K�v�����.GA����TSP����@����Grefenstette��� �� ���\��[5]�����BnTSP���R�����n�Z�[���X�}��������������������R�[�f�B���O�@���������g����B��F�����������Z�p���[�^�����R�[�f�B���O���}6�����B

�}6:�R�[�f�B���O��

�}6���A(1)�e�Z�[���X�}����p�X(PSn)��n�Z�[���X�}����������Z�p���[�^���u������\���A(2)�e�Z�[���X�}����p�X����i���o�H���j�����\�������R�[�f�B���O��{��������B

4.2 �e�]���x��v�Z

��u�A���S���Y��������A�K���x�A����x�A�Z�x�A���l��4���v�Zレ�x������K�v�����B����nTSP�����]���x��v�Zョ���`���B

����Cpenalty���v���������R�X�g(work)�����e�Z�[���X�}�������o�H�R�X�g������a��v�Z�����D���{�e���C���������x��nTSP���A����C�K���x����]��l�C����x��2������������o�H������C�Z�x�������W�c��x�z�������C���l�������c��m������������D


5. タ��

5.1 タ��1

タ��1���CnTSP����IA��L���@�\��������m�F���D��������s�s��12�C�Z�[���X�}����4���C�s�s�z�u��o��s�s����S��~���z�u���DIA��e�p�����[�^��Table2���������D

Table2:IA��p�����[�^

�W�c��

50

���W�c

�����_��

����

10000

���m��1

0.2

���m��2

0.3

��R���m��1

0.02

��R���m��2

0.1

�L���E�����

100

�T�v���b�T�[��E�����

5

�Z�x�璻��l

0.43

����C���m��1�y���R���m��1�����o�H�������m������C���m��2�y���R���m��2��Z�p���[�^�������m�������D�{�e������R�[�f�B���O������������Z�p���[�^�����������C���o�H������Z�p���[�^�������m����������D

��`�q���\���g�p���GA��I�y���[�^������������D

�}6�����W�c���v������������C �}7��IA����������K������D

�}6:���W�c������
�}7:IA���������K��

�����}���CIA��K���nTSP�����v���������\������l�����D

5.2 タ��2

タ��2���CIA��T�����]�������SimpleGA����r��s����D��r��p������Z�[���X�}����2�C�s�s��10���C�����_����s�s�z�u��30��p����D���CIA��GA��e�p�����[�^��CTable3���������D

Table3:�p�����[�^

�p�����[�^

GA

IA

���W�c

���

�L���E�����p

�W�c��

50

50

���m��

0.2

0.2

��R���m��

0.02

0.02

�L���E�����

nothing

50

�T�v���b�T�[��E�����

nothing

5

�Z�x�匁��l

nothing

0.35

タ������}8����D

�}8:GA��IA�����r

�}8��C���������C�cイ���������Cbox��GA�Cline��IA�������D�O���t���C30���������K��T����������r���CGA:IA=13:17��IA��D������������D���C���11���CIA��GA���r���������������K���l������D����IA�����T��������L���C���p������C���������������C���I�����K�������������������l�����D������C���n���������u�V�X�e�����x�L����R�����K�������Cゥ��h�q��s���s��lョ���v���D


6. ������

6.1 �L�����p

�T���������L���Cョ(6)��v�Z���Z�x����蛻��l��z������s���(�}9)�D

�}9:�L���@

�{�e��来��l��z���������L���E��T�v���b�T�[��E��L������D

������L��������C�L���E���T����������������C�T�v���b�T�[�����L���E��L���������������������D�����C�������K�������������������L���E�����p����T���p������l�����D���C������L�������������������T��������������l�������C�T�v���b�T�[��E��L���������������T���}����D����C�L������������������������������C�T�v���b�T�[��E������������������X����T�����\�������������s����D

����d�l���C�L���E��K���x��V���������v�Z��C�K���x�����L���E�����W�c������x��\���C�s��������_�����������L���E�����p��s������D�L���@�y��C�L������p��@���������]�n��c������C�{�e������������l�@��������D

6.2 ������

�������2�d���S�~������s�s���������s�s�z�u����C�� ���O�~���a������2�����������K��C���������D�}10�� ��������~�������������������v����(c-type)���K��� �����C�}11��O�~���~����������v����(o-type)���K����������D

�}10:c-type


�}11:o-type

�������������K��C��������������������IA��L���E�����p��������T���e������l�����D


7. タ��3

7.1 �����

タ��3���C������������������C�L������p����T���e��������m����D�m�F��@��������s���D

Step1-3��T���l�q���r���D�����CStep1����Step2�C3����T��������������T���e���������l�����D�����Step1��Cempty(�L�����c-type����)�CStep2��Oc(c-type��L�����p���o-type����)�CStep3��Cc(c-type��L�����p���c-type����)��\�L���D

�eStep��T�������Table4���������D

Table4:�����

�p�����[�^

Cempty

Oc

Cc

�s�s��

13

13

13

�Z�[���X�}����

1

1

1

�O�~���a

40

40

40

��~���a

10

35

15

��K��

c-type

o-type

c-type

�O�~���~���6�s�s���C�o��s�s��~����S��z�u���D IA��p�����[�^��Table5���������D

Table5:IA��p�����[�^2

���W�c

�L���E�����p

�W�c��

100

���m��1

0.2

��R���m��1

0.02

�L���E�����

100

�T�v���b�T�[��E�����

5

����x�璻��l

0.315

�Z�x�匁��l1

0.315

�Z�x�匁��l2

0.315

����C����x�匁��l�����x��v�Z�C�Z�x�匁��l1��Z�x��v�Z�C�Z�x�匁��l2��L�����匁��l������g�p���D

7.2 タ�����

タ��3������}12�C�}13����D

�}12:IA��T�����

�}12������CCempty(��}�)�COc(��}���)�CCc(��}�E��)��T�����������}ヲ�����D

�}13:�T������r

�}13����3�����3����T������r�����D�cイ���K���1����X�P�[�����O���K���x�C���������\�����D��}���C100������K���x�������r����

Cempty < Cc < Oc

������������������D���������K���T�����������f�������o������C�������T���������L�����p������e�������l�����D


8. ���_������

8.1 �Z�x�����\��

���������C�������������T��������������Cタ��3����������������s����DIA��������W�c��x�z������(�Z�x)������������������L�����C�Z�x�����������O����`ソ������K�v�����D�������C�{�e��p������\�����R�[�f�B���O��C����������v���`�q�����������������������@�������C�`ソ���������D�Z�x�����\������I�������g��������������O�q�����_��o�����l�����D

8.2 �Z�x��p�X�\��

�Z�x��\��^��������x���v�Z����D����\��^����R�[�f�B���O���p�X�\���p��������D�}5��p�X�\���R�[�f�B���O�����}14�����D

�}14:�p�X�\�����R�[�f�B���O��

TSP������C�p�X�\������`�q�����������s����v���` �q���������������������g�p��������D����`ソ�� ��S��}�b�`��� �T�u�c�A�[�����[6]���p������l�����D


9. �����

�K���A���S���Y������@������u�A���S���Y����nTSP��K�p��C���H�w�I���p������\����������C�v�Z�@タ�������L����������D���C�������������������C�T���e�������\������������D���C�L��@�\����p������C��I�������������J��������K�v����������L���@�\����l�����D�������������{����}���`�G�[�W�F���g�n��L���A���S���Y�������IA����p�������D


�Q�l���

[1] �X ��V,�z�R ��,���c �L��,��l�������u�I�A���S���Y����������������������p, T.IEE Japan, Vol.133-C, No.10, 1993.

[2] �X ��V,�z�R ��,���c �L��,��u�A���S���Y�������������K��,T.IEE Japan, Vol.117-C, No.5, 1997.

[3] �a�c ���V��,�a�c ��q,�R�o������i����u�V�X�e���_�����,������w, NO.353, NOVEMBER, 1992

[4] ���� �F�m,�p�c �B�F,�c�� �p�F,���Z�[���X�}������j���[�����l�b�g��[�N�����@, �l�H�m�\ 94-2, (1994, 6, 20)
Back

[5] J.Grefenstette, R.Gopal, B.J.Rosmaita and D.Van Gucht : Genetic Algorithms for the Traveling Salesman Problem, Proc. of ICGA '85, 16/168 (1985)
Back

[6] �R�� ��K�C�� �M�v�C�� �d�M�C�`ソ���`��d�����`�I�A���S���Y����������Z�[���X�}�������@�C�l�H�m�\�w���CVol.7, No.6, Nov. 1992
Back


�ENAL���� E-mail:tnal@eva.ie.u-ryukyu.ac.jp

�E���O��y�[�W(��e�W)����

�E�z�[���y�[�W����