ブール代数補足とカルノー図

ブール代数の計算の例

（１）

　f=(A+B)･(A･B)' = A･B' + A'･B　を証明する。

前回説明した公理や公式をもちいる。

	f=(A+B)･(A･B)'
ドモルガンの定理を適用すると	=(A+B)･(A'+B')
分配則で展開すると	=A･(A'+B') + B･(A'+B')
さらに、分配則で展開すると	=A･A' + A･B' + B･A' + B･B'
相補則で変形すると、	=0 + A･B' + B･A' + 0
吸収則により’０’は消えるので	=A･B' + B･A'

（２）

A + A'･B = A + B　を証明する。

	A + A'･B
吸収則でAをA･1と考える	= A･1 + A'･B
相補則により1=B+B'と考える	= A･(B+B') + A'･B
分配則により展開する	= A･B + A･B' + A'･B
べき等則によりA･Bを2項にする	= A･B + A･B + A･B' + A'･B
可換則により計算順序をかえる	= (A･B+A･B') + (A･B+A'･B)
分配則で因数分解すると	=A･(B+B') + B･(A+A')
相補則により	=A･1 + B･1
吸収則により	=A + B

真理値表からの加法標準形の作り方

以下の真理値表から加法標準形のブール式の作り方。

入力A	入力B	入力C	出力ｆ
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

出力が１に対応する入力を見て、0ならばNOTし、１ならばそのままで論理積をとり、全体の論理和を取る。

f = A'･B'･C + A'･B･C' + A･B'･C' + A･B･C

となる。

真理値表からの乗法標準形の作り方

加法標準形とは逆で、出力が０に対応する入力を見て、０ならばそのまま、１ならばNOTして論理和を取り、全体の論理積を取る。

f = (A+B+C)･(A+B'+C')･(A'+B+C')･(A'+B'+C)

となる。

これを展開すると、ちゃんと　f = A'･B'･C + A'･B･C' + A･B'･C' + A･B･C　になります。

カルノー図による論理関数の簡単化

ORの真理値表
入力A	入力B	出力ｆ（A、B)
０	０	0
０	１	１
１	０	１
１	１	１

上記ORの真理値表から加法標準形を作ると、

　 f = A'･B + A･B' + A･B

Aでくくると、 =A･(B+B') + A'･B

相補則により、　 =A + A'･B

　うまくORの形にならない。

再度挑戦 f = A'･B + A･B' + A･B

べき等則 = A'･B + A･B' + A･B + A･B

　 = (A･B+A'･B) + (A･B+A･B')

分配則で因数分解すると、　 =(A+A')･B + A･(B+B')

　 =B+A

以上のように、ブール代数による変形は熟練がないと、行き詰まることがある。

そこでカルノー図を用いて式の簡単化をする。

カルノー図とは真理値表をマスメを用いて表したものである。

2変数のカルノー図				2入力ORのカルノー図

カルノー図の隣接するマスメは１つの入力信号の変化に対応する。

2入力ORのカルノー図	2入力ORのカルノー図

３入力のカルノー図

３変数のカルノー図

	f = A'･B + A･B' + A･B
Aでくくると、	=A･(B+B') + A'･B
相補則により、	=A + A'･B
	うまくORの形にならない。
再度挑戦	f = A'･B + A･B' + A･B
べき等則	= A'･B + A･B' + A･B + A･B
	= (A･B+A'･B) + (A･B+A･B')
分配則で因数分解すると、	=(A+A')･B + A･(B+B')
	=B+A