ブール代数補足とカルノー図

ブール代数の計算の例

（１）教科書P40 問題２．５

　f=(A+B)･(A･B)' = A･B' + A'･B　を証明する。

前回説明した公理や公式をもちいる。

（２）教科書P48　演習問題２．５（１）

A + A'･B = A + B　を証明する。

真理値表からの加法標準形の作り方

以下の真理値表から加法標準形のブール式の作り方。

• 出力が１に対応する入力を見て、0ならばNOTし、１ならばそのままで論理積をとり、全体の論理和を取る。

f = A'･B'･C + A'･B･C' + A･B'･C' + A･B･C

となる。

真理値表からの乗法標準形の作り方

• 加法標準形とは逆で、出力が０に対応する入力を見て、０ならばそのまま、１ならばNOTして論理和を取り、全体の論理積を取る。

f = (A+B+C)･(A+B'+C')･(A'+B+C')･(A'+B'+C)

となる。

これを展開すると、ちゃんと　f = A'･B'･C + A'･B･C' + A･B'･C' + A･B･C　になります。

カルノー図による論理関数の簡単化（教科書４．３、P９７）

• 上記ORの真理値表から加法標準形を作ると、

	f = A'･B + A･B' + A･B
Aでくくると、	=A･(B+B') + A'･B
相補則により、	=A + A'･B
	うまくORの形にならない。
再度挑戦	f = A'･B + A･B' + A･B
べき等則	= A'･B + A･B' + A･B + A･B
	= (A･B+A'･B) + (A･B+A･B')
分配則で因数分解すると、	=(A+A')･B + A･(B+B')
	=B+A

• 以上のように、ブール代数による変形は熟練がないと、行き詰まることがある。

そこでカルノー図を用いて式の簡単化をする（教科書４．３．２　P98）。

• カルノー図とは真理値表をマスメを用いて表したものである。

2変数のカルノー図				2入力ORのカルノー図

• カルノー図の隣接するマスメは１つの入力信号の変化に対応する。

2入力ORのカルノー図	2入力ORのカルノー図

３入力のカルノー図

３変数のカルノー図

クイズ4　　学籍番号　名前　日付　を書いて　提出すること。

１）　教科書演習問題　２．５（２）　A･(A' + B) = A･B　をブール代数の性質をもちいて証明せよ。

（ヒント：これはめちゃ簡単！）

２）　教科書演習問題　２．５（３）　(A･B + A'･B')' = A･B' + A'･B　をブール代数の性質をもちいて証明せよ。

（ヒント：ドモルガンの定理を用いる）

３）以下の真理値表をカルノー図で表し、隣接する１があれば○で囲み、その結果より出力関数ｆのブール式を求めよ。